二重积分是什么？
二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。二重积分的本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。几何意义：在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。
二重积分的应用
解：视“z=√(a²-x²-y²)”为曲面S【第一象限的球面部分】的方程，D为S在Oxy平面上的投影区域，应用曲面S的面积公式即可。
其求解过程，分享一种解法。转化成极坐标求解。设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤π/2，0≤ρ≤a。
∴S1=∫(0,π/2)dθ∫(0,a)aρdρ/√(a²-ρ²)=a∫(0,π/2)dθ∫(0,a)ρdρ/√(a²-ρ²)。
而，∫(0,a)ρdρ/√(a²-ρ²)=-√(a²-ρ²)丨(ρ=0,a)=a，∴S1=a²∫(0,π/2)dθ=a²π/2。
供参考。
二重积分到底算的是什么?
1、如果被积函数的量纲是长度单位，则二重积分为体积；
2、如果被积函数的量纲是Pa，则二重积分的意义为计算总压力；
3、如果被积函数的量纲是kg/m²，则二重积分的意义就是算总质量；
4、如果被积函数的量纲是C/m² ，则二重积分的意义就是算总电量；
结论：
1、二重积分是否有意义，要看被积函数的量纲，由量纲决定是否有物理意义。
2、数学老师出题，一般不会考虑什么物理模型、量纲，一般均无明确意义。
3、对于数学老师随意出出来的二重积分题，笼统地讲是算体积，其实是错的。
4、被积函数如果是1，而且这个1不带任何单位，那二重积分就是算总面积。
5、只要被积函数不是1，一般来说，二重积分没有明确意义，只是乱积而已。
数学老师给出来的二重积分的题，一般都是为了练习、熟练积分而出的题，
不必认真，只是练习而已。如果你一旦认真起来，无论你的天赋多高，创
造力多强，无论数学老师多烂，都会骂你“钻牛角尖”，“脑子有问题”。天才
就当成了白痴。
封闭曲线积分的方向如果是反方向，使用格林公式化成二重积分的时候是不是要在前面加负号？
你说有一点没错，的确是要看方向，但是对于里面的曲线C，因为连通区域在C的外侧，物理中规定正方向的左侧为连通区域，因此对于C而言只有顺时针的时候现在的连通区域才是左侧，这时候才能使用格林公式。
第一个负号加进来，让C变为-C是对于第二型曲线积分普遍适用的。
第二个-C为什么没在前面添一个-号是因为上面说的，这里顺时针也就是-C方向，才是里面小圆的正方向，不知道这么说你懂了没有。
