关于矩阵正定性的判定
广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）。狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。扩展资料正定矩阵在相合变换下可化为规范型， 即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵（或厄米特矩阵）是正定矩阵。正定矩阵的性质：1、正定矩阵的行列式恒为正；2、实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同；3、若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵；4、两个正定矩阵的和是正定矩阵；5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。等价条件:1、AA是半正定的；2、AA的所有主子式均为非负的；3、AA的特征值均为非负的；4、存在n阶实矩阵C，使A=C'CC，使A=C′C；5、存在秩为r的r×n实矩阵BB，使A=B'BA=B′B。参考资料来源：百度百科-正定矩阵
矩阵正定性的性质和判别
矩阵正定性的性质：1、正定矩阵的特征值都是正数。2、正定矩阵的主元也都是正数。3、正定矩阵的所有子行列式都是正数。4、正定矩阵将方阵特征值，主元，行列式融为一体。正定矩阵的判别方法：1、 对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。2、对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。3、对称矩阵A正定(半正定)的充分必要条件是存在n阶可逆矩阵U使A=U^TU 4、对称矩阵A正定，则A的主对角线元素均为正数。5、对称矩阵A正定的充分必要条件是:A的n个顺序主子式全大于零。扩展资料：广义的正定矩阵判断：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M正定矩阵。例如：B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。（B必须为对称阵）狭义正定矩阵判断：一个n阶的实对称矩阵M是正定的当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zTMz> 0。其中zT表示z的转置。参考资料来源：百度百科-正定矩阵
正定矩阵有哪些性质
矩阵正定性的性质：1、正定矩阵的特征值都是正数。2、正定矩阵的主元也都是正数。3、正定矩阵的所有子行列式都是正数。4、正定矩阵将方阵特征值，主元，行列式融为一体。正定矩阵的性质与判别方法1、对称矩阵A正定的充分必要条件是A的n个特征值全是正数。2、对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。扩展资料：矩阵与行列式的区别：1、矩阵是一个表格，行数和列数可以不一样；而行列式是一个数，且行数必须等于列数。只有方阵才可以定义它的行列式，而对于长方阵不能定义它的行列式。 2、两个矩阵相等是指对应元素都相等；两个行列式相等不要求对应元素都相等，甚至阶数也可以不一样，只要运算代数和的结果一样就行了。 3、两矩阵相加是将各对应元素相加；两行列式相加，是将运算结果相加，在特殊情况下(比如有行或列相同)，只能将一行(或列)的元素相加，其余元素照写。参考资料来源：百度百科-正定矩阵
正定矩阵的性质有哪些
一． 定义
因为正定二次型与正定矩阵有密切的联系，所以在定义正定矩阵之前，让我们先定义正定二次型:
设有二次型 ,如果对任何x 0都有f(x)>0( 0) ，则称f(x) 为正定（半正定）二次型。
相应的，正定（半正定）矩阵和负定（半负定）矩阵的定义为：
令A为 阶对称矩阵，若对任意n 维向量 x 0都有 ＞0(≥0)则称A正定（半正定）矩阵；反之，令A为n 阶对称矩阵，若对任意 n 维向量 x≠0 ,都有 ＜0（≤ 0）， 则称A负定（半负定）矩阵。
例如，单位矩阵E 就是正定矩阵。
二． 正定矩阵的一些判别方法
由正定矩阵的概念可知，判别正定矩阵有如下方法：
1.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A的 n 个特征值全是正数。
证明：若 ， 则有
∴λ＞0
反之，必存在U使
即
有
这就证明了A正定。
由上面的判别正定性的方法，不难得到A为半正定矩阵的充要条件是：A的特征值全部非负。
2．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是A合同于单位矩阵E。
证明：A正定
二次型 正定
A的正惯性指数为n
3．n阶对称矩阵A正定（半正定）的充分必要条件是存在 n阶可逆矩阵U使 ；进一步有 （B为正定（半正定）矩阵）。
证明：n阶对称矩阵A正定，则存在可逆矩阵U使
令 则
令 则
反之，
∴A正定。
同理可证A为半正定时的情况。
4．n阶对称矩阵A正定，则A的主对角线元素 ，且 。
证明：（1）∵n阶对称矩阵A正定
∴ 是正定二次型
现取一组不全为0 的数0,…,0,1,0…0(其中第I个数为1)代入，有
∴
∴A正定
∴存在可逆矩阵C ，使
5．n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是：A的 n 个顺序主子式全大于零。
证明：必要性：
设二次型 是正定的
对每个k,k=1,2,…,n,令
，
现证 是一个k元二次型。
∵对任意k个不全为零的实数 ，有
∴ 是正定的
∴ 的矩阵
是正定矩阵
即
即A的顺序主子式全大于零。
充分性：
对n作数学归纳法
当n=1时，
∵ ， 显然 是正定的。
假设对n-1元实二次型结论成立，现在证明n元的情形。
令 ， ，
∴A可分块写成
∵A的顺序主子式全大于零
∴ 的顺序主子式也全大于零
由归纳假设， 是正定矩阵即，存在n-1阶可逆矩阵Q使
令
∴
再令 ，
有
令 ，
就有
两边取行列式，则
由条件 得a＞0
显然
即A合同于E ，
∴A是正定的。
三． 负定矩阵的一些判别方法
1．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的负惯性指数为n。
2．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的特征值全小于零。
3．n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的顺序主子式 满足
，
即奇数阶顺序主子式全小于零，偶数阶顺序主子式全大于零。
由于A是负定的当且仅当-A是正定的，所以上叙结论不难从正定性的有关结论直接得出，故证明略。
四．半正定矩阵的一些判别方法
1． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的正惯性指数等于它的秩。
2． n阶对称矩阵A是半正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全大于等于零，但至少有一个特征值等于零。
3． n阶对称矩阵A是负定矩阵的充分必要条件是A的各阶主子式全大于等于零，但至少有一个主子式等于零。
注：3中指的是主子式而不是顺序主子式，实际上，只有顺序主子式大于等于零并不能保证A是半正定的，例如：
矩阵 的顺序主子式 ， ， ，
但A并不是半正定的。
关于半负定也有类似的定理，这里不再写出。
正交矩阵与正定矩阵的关系 谁能给出两个正交矩阵与正定矩阵的知识点啊,
设M是n阶实系数对称矩阵,如果对任何非零向量
X=(x_1,...x_n) 都有 XMX^t>0,就称M正定.
正定矩阵在相似变换下可化为标准型,即单位矩阵.
所有特征值大于零的矩阵也是正定矩阵.
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n阶实矩阵 A称为正交矩阵,如果：A×A′=I
则下列诸条件是等价的:
1) A 是正交矩阵
2) A×A′=I 为单位矩阵
3) A′是正交矩阵
4) A的各行是单位向量且两两正交
5) A的各列是单位向量且两两正交
6) (Ax,Ay)=(x,y) x,y∈R
证明如果一个正交矩阵是正定矩阵,那么它必为单位矩阵
要意识到正交矩阵的特征根是1或-1
然后矩阵正定,特征值全为1.
Ax=ax,a为特征值,x为特征向量,则两边做转置x'A'=ax'.于是有x'A'Ax=ax'ax
由于A正交,左边为x'x,而右边为aax'x,所以a方=1,特征根是1或-1.
由于A对称正定,故存在正交矩阵B,B'AB为上三角形(其实由A正交可进一步知,是对角形,只需考虑AA'=A'A即得),对角线上为特征值,可见正定的充要条件是特征值皆为正数,本题都为1.
所以A正交相似于单位阵,即上边的B'AB=E.所以A=BB'=E(注意B正交).
