双曲线的标准方程是什么？
一、双曲线的相关概念
焦点：双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c²=a²+b²。
离心率：给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的离心率。离心率e=c/a
顶点：双曲线和它的对称轴有两个交点,它们叫做双曲线的顶点。
实轴：两顶点之间的距离称为双曲线的实轴,实轴长的一半称为实半轴。
虚轴：在标准方程中令x=0,得y²=-b²，该方程无实根，为便于作图，在y轴上画出B1(0,b)和B2(0,-b),以B1B2为虚轴.
渐近线：双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。
焦点在x轴的渐近线：y=±b/a x
焦点在y轴的渐近线：y=±a/b x
二、双曲线的标准方程：
①焦点在x轴上：x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)
②焦点在y轴上：y²/a²-x²/b²=1(a>0,b>0)
根据双曲线的定义，双曲线上的一个点到两焦点的距离之差的绝对值是定值，等于2a，即|PF1|-|PF2│|=2a，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。
三、双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用。
四、设点为M点，e为离心率。M点在左支上 ：MF1=ex+a（x为M点横坐标）；MF2=ex-a。 M点在右支上：MF1=-(ex+a）；MF2=-(ex-a).
综上所述，便可得出双曲线的上的点到两焦点的距离
双曲线的标准方程
双曲线的标准方程如下：标准方程1：焦点在X轴上时为x2/a2-y2/b2=1(a>0，b>0)。标准方程1：焦点在Y轴上时为y2/a2-x2/b2=1(a>0，b>0)。双曲线取值范围：│x│≥a(焦点在x轴上）或者│y│≥a(焦点在y轴上）。双曲线对称性：关于坐标轴和原点对称，其中关于原点成中心对称。双曲线的定义：(1)平面内，到两个定点的距离之差的绝对值为常数（小于这两个定点间的距离）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点。(2)平面内，到给定一点及一直线的距离之比为常数e(e=c/a(e>1)，即为双曲线的离心率）的点的轨迹称为双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线。双曲线准线的方程为x=±a²/c(焦点在x轴上）或y=±a²/c(焦点在y轴上）。(3)一平面截一圆锥面，当截面与圆锥面的母线不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。以上内容参考：百度百科-双曲线的标准方程
高中数学有关于双曲线的公式
定义4：在平面直角坐标系中,二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时,其图像为双曲线.
1.a、b、c不都是零.
2.b^2 - 4ac > 0.
3.a^2+b^2=c^2
在高中的解析几何中,学到的是双曲线的中心在原点,图像关于x,y轴对称的情形.这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.
上述的四个定义是等价的,并且根据建好的前后位置判断图像关于x,y轴对称.
2 标准方程编辑本段
1,焦点在X轴上时为：
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
2,焦点在Y 轴上时为：
y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1
3 主要特点编辑本段
3.1 1、轨迹上一点的取值范围：
│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）.
3.2 2、对称性：
关于坐标轴和原点对称.
3.3 3、顶点：
A(-a,0),A'(a,0）.同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a.
B(0,-b）,B'(0,b）.同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.
F1（-c,0）F2（c,0）.F1为双曲线的左焦点,F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c
对实轴、虚轴、焦点有：a^2+b^2=c^2
3.4 4、渐近线：
焦点在x轴：y=±（b/a)x.
焦点在y轴：y=±（a/b)x.圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时,表示双曲线.其中p为焦点到准线距离,θ为弦与x轴夹角.
令1-ecosθ=0可以求出θ,这个就是渐近线的倾角.θ=arccos（1/e)
令θ=0,得出ρ=ep/（1-e）,x=ρcosθ=ep/（1-e）
令θ=PI,得出ρ=ep/（1+e）,x=ρcosθ=-ep/（1+e）
这两个x是双曲线定点的横坐标.
求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
（注意化简一下）
直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
是双曲线一条对称轴,注意是不与曲线相交的对称轴.
将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程,设旋转后的角度是θ’
则θ’=θ-[PI/2-arccos（1/e)]
则θ=θ’+[PI/2-arccos（1/e)]
代入上式：
ρcos{θ’+[PI/2-arccos（1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
即：ρsin[arccos（1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
现在可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：ρsin[arccos（1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
现证明双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1 上的点在渐近线中
设M(x,y）是双曲线在第一象限的点,则
y=(b/a）√（x^2-a^2） (x>a)
因为x^2-a^20)
而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)
但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的
因为xy = c的对称轴是 y=x,y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴,y轴
所以应该旋转45度
设旋转的角度为 a （a≠0,顺时针）
（a为双曲线渐进线的倾斜角）
则有
X = xcosa + ysina
Y = - xsina + ycosa
取 a = π/4
则
X^2 - Y^2 = (xcos（π/4） + ysin（π/4）)^2 -(xsin（π/4） - ycos（π/4）)^2
= （√2/2 x + √2/2 y)^2 -（√2/2 x - √2/2 y)^2
= 4 （√2/2 x) （√2/2 y)
= 2xy.
而xy=c
所以
X^2/（2c) - Y^2/（2c) = 1 (c>0)
Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c1；
在双曲线的线上称为双曲线上,则有x^2/a^2-y^2/b^2=1；
在双曲线所夹的区域称为双曲线外,则有x^2/a^2-y^2/b^2
高中数学有关于双曲线的公式
定义4：在平面直角坐标系中，二元二次方程f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
1.a、b、c不都是零.
2. b^2 - 4ac > 0.
3.a^2+b^2=c^2
在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1.
上述的四个定义是等价的，并且根据建好的前后位置判断图像关于x，y轴对称。
2 标准方程编辑本段
1，焦点在X轴上时为：
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
2，焦点在Y 轴上时为：
y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1
3 主要特点编辑本段
3.1 1、轨迹上一点的取值范围：
│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。
3.2 2、对称性：
关于坐标轴和原点对称。
3.3 3、顶点：
A(-a,0)， A'(a,0）。同时 AA'叫做双曲线的实轴且│AA'│=2a.
B(0,-b）， B'(0,b）。同时 BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.
F1（-c,0）F2（c,0）.F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c
对实轴、虚轴、焦点有：a^2+b^2=c^2
3.4 4、渐近线：
焦点在x轴：y=±（b/a)x.
焦点在y轴：y=±（a/b)x. 圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。其中p为焦点到准线距离，θ为弦与x轴夹角。
令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。θ=arccos（1/e)
令θ=0，得出ρ=ep/（1-e）,x=ρcosθ=ep/（1-e）
令θ=PI，得出ρ=ep/（1+e）,x=ρcosθ=-ep/（1+e）
这两个x是双曲线定点的横坐标。
求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）
x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
（注意化简一下）
直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。
将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’
则θ’=θ-[PI/2-arccos（1/e)]
则θ=θ’+[PI/2-arccos（1/e)]
代入上式：
ρcos{θ’+[PI/2-arccos（1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
即：ρsin[arccos（1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
现在可以用θ取代式中的θ’了
得到方程：ρsin[arccos（1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2
现证明双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1 上的点在渐近线中
设M(x,y）是双曲线在第一象限的点，则
y=(b/a）√（x^2-a^2） (x>a)
因为x^2-a^2<x^2，所以y=(b/a）√（x^2-a^2）<b/a√x^2=bx/a
即y<bx/a
所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方
根据对称性第二、三、四象限亦如此
3.5 5、离心率：
第一定义：e=c/a 且e∈（1，+∞）.
第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│ 与 点P到定直线（相应准线）的距离d 的比等于双曲线的离心率e.
d点│PF│/d线（点P到定直线（相应准线）的距离）=e
3.6 6、双曲线焦半径公式
（圆锥曲线上任意一点P(x,y）到焦点距离）
左焦半径：r=│ex+a│
右焦半径：r=│ex-a│
3.7 7、等轴双曲线
一双曲线的实轴与虚轴长相等 即：2a=2b 且 e=√2
这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）
3.8 8、共轭双曲线
双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴 且 双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。
几何表达：S：（x^2/a^2）-(y^2/b^2）=1 S'：（y^2/b^2）-(x^2/a^2）=1
特点：（1）共渐近线 ；与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点
（2）焦距相等
（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于1
3.9 9、准线：
焦点在x轴上：x=±a^2/c
焦点在y轴上：y=±a^2/c
3.10 10、通径长：
（圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦）
d=2b^2/a
11、过焦点的弦长公式：
d=2pe/（1-e^2cos^2θ）
3.11 12、弦长公式：
d = √（1+k^2）|x1-x2| = √（1+k^2）(x1-x2）^2 = √（1+1/k^2）|y1-y2| = √（1+1/k^2）(y1-y2）^2 推导如下：
由 直线的斜率公式：k = (y1 - y2） / (x1 - x2）
得 y1 - y2 = k(x1 - x2） 或 x1 - x2 = (y1 - y2）/k
分别代入两点间的距离公式：|AB| = √[(x1 - x2）^2; + (y1 - y2）^2; ]
稍加整理即得：
|AB| = |x1 - x2|√（1 + k^2;) 或 |AB| = |y1 - y2|√（1 + 1/k^2;)
·双曲线的标准公式与反比例函数
X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1(a>0,b>0)
而反比例函数的标准型是 xy = c (c ≠ 0)
但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的
因为xy = c的对称轴是 y=x,y=-x 而X^2/a^2 - Y^2/b^2 = 1的对称轴是x轴，y轴
所以应该旋转45度
设旋转的角度为 a （a≠0，顺时针）
（a为双曲线渐进线的倾斜角）
则有
X = xcosa + ysina
Y = - xsina + ycosa
取 a = π/4
则
X^2 - Y^2 = (xcos（π/4） + ysin（π/4）)^2 -(xsin（π/4） - ycos（π/4）)^2
= （√2/2 x + √2/2 y)^2 -（√2/2 x - √2/2 y)^2
= 4 （√2/2 x) （√2/2 y)
= 2xy.
而xy=c
所以
X^2/（2c) - Y^2/（2c) = 1 (c>0)
Y^2/(-2c) - X^2/(-2c) = 1 (c<0)
由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.
3.12 13.双曲线内、上、外
在双曲线的两侧的区域称为双曲线内，则有x^2/a^2-y^2/b^2>1；
在双曲线的线上称为双曲线上，则有x^2/a^2-y^2/b^2=1；
在双曲线所夹的区域称为双曲线外，则有x^2/a^2-y^2/b^2<1。
