用变限积分求导公式，由于0到根号y上积分arctan[cos(3x+5根号)]dx实际上是y的函数，不妨令成f(y)，根据变限积分求导公式，0到t2上积分f(y)dy的导数是2tf(t2)。
于是第一行二重积分对t求导得到的式子含因式2t，由于f(y)是0到根号y上积分arctan[cos(3x+5根号)]dx，f(t2)实际上就是把所有的y换成t2，得到第二行，由极限号，t＞0，开方得第三行。
二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分。
扩展资料：
在空间直角坐标系中，二重积分是各部分区域上柱体体积的代数和，在xoy平面上方的取正，在xoy平面下方的取负。某些特殊的被积函数f（x，y）的所表示的曲面和D底面所为围的曲顶柱体的体积公式已知，可以用二重积分的几何意义的来计算。
二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。然而，可导的函数一定连续不连续的函数一定不可导。
