伊藤积分

伊藤积分

伊藤积分((Ito integral)是一种随机积分，它是由日本数学家伊藤清首先提出和研究的。伊藤方程的重要性之一在于它的解过程是一个马氏过程，从而可以把马氏过程的许多深入结果利用上。

基本信息

外文名Ito stochastic integral

定义一种随机积分

概念

在统计物理中的郎之万方程，应该是随机微分方程，而且不是普通意义下的随机微分方程

代表布朗粒子所受到的随机力，它被视为一个白噪音过程。由于白噪音不是一个普通的随机过程，所以，朗之万方程的严格数学表达遇到了困难。

更一般地，考虑方程

其中 与 是两个确定性函数， ，是 维白噪音过程。由于 不是普通随机过程，故上式虽然是有重要实际意义的，但却没有严格的数学意义。

注意到白噪音过程是作为 过程的导过层是引入的，因而上式在形式上等价于方程

是 过程。

上式比较容易赋以严格的定义，只须对其右端第二个积分加以解释罢了。我们可以把第二个积分理解为斯蒂尔吉斯均方积分

不幸的是，等式右端的极限差不多总是不存在的。伊藤解决了这一困难，他把 点的取法作了限制，永远取子区间的左端点

这样规定的积分，就是有名的伊藤积分。

基本原理

定义：设，是随机过程，对 区间取一划分

求和，若无限分细时，此和式有唯一的均方极限，则称该极限为 在 上的伊藤积分，记作

定理：若在上连续，对任意，都有与独立，则存在。

定理：设与是两个实函数，满足

（1）都在上连续，且对每一，关于一致连续。

（2），，其中为一常数。

（3）李普西兹条件：，，又设与任意独立，则伊藤方程有唯一确定的解。

定理：设与任意独立，则伊藤方程的解是一个马尔科夫过程